第 7 章 离散时间系统的时域分析 ¶

1. 序列和离散时间系统的数学模型 ¶

离散时间信号——序列 \(x(n)\) 。对应某序号 \(n\)​ 的函数值称为样值。

序列之间加减乘除、延时（右移）、左移、反褶、尺度倍乘（波形压缩、扩展）、差分、累加。

\(x(an)\) 波形压缩， \(x(\frac{x}{n})\)​ 波形扩展，这时可能要按规律去除某些点或补足 0 值。

典型序列：

1. 单位样值信号： \(\delta(n)\) 。
2. 单位阶跃序列： \(u(n)\) 。
3. 矩形序列： \(R_N(n)=u(n)-u(n-N)\) ，有 \(0 \sim N-1\) 的 \(N\) 个值，或 \(R_N(n-m)=u(n-m)-u(n-m-N)\) ，有 \(m \sim m+N-1\) 的 \(N\) 个值。
4. 斜变序列： \(x(n)=nu(n)\) ，显然有 \(u(n)=x(n)-x(n-1)\) 。
5. 指数序列： \(x(n)=a_n u(n)\) 。​
6. 正弦序列：\(x(n)=\sin(n\omega_0)\) ，不一定有周期 \(T\) ，但是有频率 \(\omega_0\) 。

与连续信号类似， \(\delta(n),\ u(n),\ nu(n)\) 仍然有差分关系： \(\delta(n)=u(n)-u(n-1),\ u(n)=nu(n)-(n-1)u(n-1)\) 。

系统方框图中： \(1/E\) 代表单位延时。

2. 常系数线性差分方程 ¶

差分方程：

阶数 = 未知序列变量序号的极差。

前向差分方程，表现为 \(x(n-\cdots),\ y(n-\cdots)\) 。

后向差分方程，表现为 \(x(n+\cdots),\ y(n+\cdots)\) 。

差分方程的解法：

1. 迭代法。
2. 时域分解法，齐次解 + 特解，对应自由响应 + 强迫响应。
3. 求零输入响应 + 零状态响应，用求齐次解的方法（激励置为 0）得到零输入响应，用卷积和（或边界条件全置 0）求零状态响应。
4. z 变换法（下一章）。

3. 单位样值响应、卷积和 ¶

单位样值响应 \(h(n)\) ：因为只在 0 处去非 0 值可以通过迭代求出。

对于离散的 LTI 系统：因果 \(\iff h(n)=h(n)u(n)\) 单边，稳定 \(\iff \sum_{m=-\infty}^{\infty}|h(n)|\leqslant M\)​ 绝对可和。

利用单位样值响应 + 卷积和求系统响应：

有限长序列可以快速求卷积：对位相乘求和，再不断移动。

性质：交换，分配，结合，筛选（与冲激序列卷积）。

查表：课本 P34，表 7-1 常见序列的卷积和。

解卷积 / 反卷积：矩阵运算，另外第 8 章的课后习题 8-20 介绍了一种简单方法。