第 5 章傅里叶变换应用于通信系统 ¶

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1. 系统的物理可实现性与佩利 - 维纳准则 ¶

时域判断：因果性

频域判断：

首先有平方可积条件：

\[ \int_{-\infty}^{\infty}|H(\mathrm{j}\omega)|^2\,\mathrm{d}\omega<\infty \]

根据帕塞瓦尔定理：

\[ \int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|^2\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|H(\mathrm{j}\omega)|^2\,\mathrm{d}\omega \]

佩利 - 维纳准则（必要不充分条件）：

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{|\ln|H(\mathrm{j}\omega)||}{1+\omega^2}\,\mathrm{d}\omega<\infty \]

不满足 PW 准则的幅度函数，响应比冲激激励先出现，违反了因果性。

PW 准则不允许 \(|H(\mathrm{j}\omega)|\) 在某一频带内恒为 0（理想滤波器不可能实现），但允许在一些不连续的点为 0。

对数函数 \(\ln()\) 限制了 \(|H(\mathrm{j}\omega)|\to 0\) 的衰减速度。

PW 准则不是物理可实现的充分条件，因为对相频特性 \(\varphi(\omega)\) 没有要求。如果已知一个满足 PW 准则的 \(|H(\mathrm{j}\omega)|\) ，可以搭配一个适当的相频特性函数 \(\varphi(\omega)\) ，使系统物理可实现。

实际上只有多项式函数和双曲函数满足 PW 准则。

2. 希尔伯特变换研究系统的约束特性 ¶

对于一个因果稳定的系统，将系统函数分解实部虚部 \(H(\mathrm{j}\omega) = R(\omega) + \mathrm{j}X(\omega)\) ，实部与虚部的关系为：

\[ R(\omega) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{X(\lambda)}{\omega-\lambda}\,\mathrm{d}\lambda \\ X(\omega) = -\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{R(\lambda)}{\omega-\lambda}\,\mathrm{d}\lambda \]

实部是虚部的 Hilbert 变换，虚部是实部的 Hilbert 逆变换。实部与虚部相互约束，二者可以互相确定，两者不能任意给定。

另外，对于一个最小相移函数， \(\ln|H(\mathrm{j}\omega)|\) 与 \(\varphi(\omega)\) 也相互约束。

3. 调制与解调 ¶

SC-AM（抑制载波调幅）¶

调制信号（基带信号） \(g(t)\) ，频谱 \(G(\omega)\) 占据有限频带 \(-\omega_m\sim \omega_m\) 。

已调信号 \(f(t)=g(t)\cos(\omega_0t)\) ，把 \(g(t)\) 频谱搬移到 \(\pm\omega_0\) 上，且分成两部分，各占 1/2。

解调：从已调信号 \(f(t)\) 恢复出基带信号 \(g(t)\) 需要用本地载波 \(\cos(\omega_0t)\) ，使频谱 \(F(\omega)\) 左右移动，经过低通滤波器（带宽大于 \(\omega_m\)，小于 \(2\omega_0-\omega_m\)）之后取出 \(G(\omega)\) ，但能量变为原来的一半。

\[ g_0(t) = f(t)\cos(\omega_0 t)=g(t)\cos^2(\omega_0 t)=\frac{1}{2}g(t)(1+\cos(2\omega_0 t)) \\ G_0(\omega) = \frac{1}{2}G(\omega)+\frac{1}{4}[G(\omega+2\omega_0)+G(\omega-2\omega_0)] \]

注意：\(f(t)\) 的频域 \(F(\omega)=\frac{1}{2}G(\omega-\omega_0)+\frac{1}{2}G(\omega+\omega_0)\) 不含载波的频谱 \(\delta(\omega)\) 。

缺点：解调使用的本地载波需要与发送端相同，接收机较为复杂。