第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析 ¶

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1. z 变换定义 ¶

抽样信号的 Laplace 变换：

\[ X_s(s)=\sum_{n=0}^{\infty} x(nT)e^{-snT} \\ z=e^{sT},\quad s=\frac{1}{T}\ln z \\ T=1 \implies X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x(n)z^{-n} \]

也可以由洛朗级数引出（~~又到了最喜欢的复变~~）。

单边 z 变换：

\[ X(z)=\mathscr{Z}[x(n)]=\sum_{n=0}^{\infty} x(n)z^{-n} \]

双边 z 变换：

\[ X(z)=\mathscr{Z}[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} \]

z 为复变量。因果信号的单边与双边 z 变换相同。

查表：附录 5 序列的 z 变换表。

2. z 变换的收敛域 ROC ¶

不同序列的 z 变换可能相同。如 \(a^nu(n), \ -a^nu(-n-1)\) 。

每一个 z 变换式要标注 ROC。在 ROC 内 z 变换函数解析，因此 ROC 内不会有极点。有理函数以 ROC 以极点为边界。

收敛的充分条件是绝对可和： \(\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n}<\infty\) ，回忆级数收敛的判定方法——比值判定和根植判定：

\[ \lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho \\ \lim_{n\to\infty}|\sqrt[n]{|a_n|}=\rho \]

\(\rho<1\) 收敛，\(\rho>1\) 发散，\(\rho=1\) 不确定。

（课本 P53，表 8-1）对于双边 z 变换，序列的 ROC：

有限长序列：几乎为整个平面。

（1）原点左右均有， \(0<|z|<\infty\)。

（2）原点及其右边， \(0<|z|\)。

（3）原点及其左边， \(|z|<\infty\)。

有限长序列，求和范围里有 \(n>0\) 的项，ZT 中会含有 \(\frac{1}{z}\)，因此 ROC 不包含 \(z=0\)。

求和范围里有 \(n<0\) 的项，ZT 中会含有 \(z\) 的乘方，因此 ROC 不包含 \(z=\infty\)。
右边序列：圆外（z 要足够大，抑制序列的增长）。

（1）包含原点，有原点左边的部分（非因果），\(R_{x1}<|z|<\infty\)。

（2）原点及其右边（因果），\(R_{x1}<|z|\)。
左边序列：圆内（1/z 要足够大，抑制序列的增长）。

（1）包含原点，有原点右边的部分，\(0<|z|<R_{x2}\)。

（2）原点及其左边，\(z<R_{x2}\)。
双边序列：圆环，\(R_{x1}<|z|<R_{x2}\)。

3. 逆 z 变换 ¶

定义式（可以救急用）：

\[ x(n)=\mathscr{Z}^{-1}[X(z)] =\frac{1}{2\pi \mathrm{j}}\oint_C X(z)z^{n-1}\mathrm{d}z \]

积分路径 C 是包含 \(X(z)z^{n-1}\) 所有极点的逆时针闭合曲线，通常选择 z 平面收敛域内以原点为中心的圆。

围线积分法（留数法）：坏

幂级数展开法（长除法）：坏

部分分式展开法：好

\[ X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\frac{b_0+b_1z+\cdots+b_{r-1}z^{r-1}+b_rz^r}{a_0+a_1z+\cdots+a_{k-1}z^{k-1}+a_kz^k} \]

因果序列的 z 变换 ROC 在圆外，为保证在无穷远处收敛，分母多项式阶次应不小于分子多项式。

大多数情况 \(X(z)\) 下只有一阶极点，将 \(\frac{X(z)}{z}\) 展开为 \(\frac{z}{z-z_m}\) 的形式：

\[ \frac{X(z)}{z} = \sum_{m=0}^K \frac{A_m}{z-z_m} \\ X(z) = \sum_{m=0}^K \frac{A_m z}{z-z_m}=A_0+\sum_{m=1}^K \frac{A_m z}{z-z_m} \\ A_m = \mathrm{Res}[\frac{X(z)}{z}]_{z=z_m}=\left[(z-z_m)\frac{X(z)}{z}\right]_{z=z_m} \\ A_0 = [X(z)]_{z=0}=\frac{b_0}{a_0} \]

如果有高阶极点：

\[ X(z)=A_0+\sum_{m=1}^M \frac{A_m z}{z-z_m}+\sum_{j=1}^s \frac{B_j z}{(z-z_i)^j} \\ X(z)=A_0+\sum_{m=1}^M \frac{A_m z}{z-z_m}+\sum_{j=1}^s \frac{C_j z^j}{(z-z_i)^j} \\ C_s=\left[(\frac{z-z_i}{z})^sX(z)\right]_{z=z_i} \]

部分分式展开要多练习（）

查表：课本 P61，表 8-2 逆 z 变换表。

5. z 变换的性质 ¶

查表：课本 P74，表 8-5 z 变换的主要性质。

（1）线性。

（2）时移特性。

对于双边 z 变换，位移只会使 z 变换在 \(z=0\) 或 \(z=\infty\) 的零极点情况发生变化。若 \(x(n)\) 为双边序列，ROC 为圆环，位移不会改变 ROC。

对于单边 z 变换，分左移和右移两情况。左移需要把将要移到左边的那部分减掉，右移需要把原来“藏”在左边的部分加上来。对因果序列也有特殊讨论。

（3）序列线性加权，z 域微分。

（4）序列指数加权，z 域尺度变换。

（5）初值定理。

（6）终值定理。要求 \(n\to\infty\) 的时候序列 \(x(n)\) 收敛，也就是 \(X(z)\) 的极点在单位圆内，或者 \(z=+1\) 点处的一阶极点。

（7）时域卷积，z 域相乘。一般情况下新序列 ROC 为二者 ROC 的重叠部分，但是有可能 ROC 边缘发生零极点相消，使 ROC 扩大。

（8）序列相乘，z 域卷积。（不要求）

（9）尺度变换性质，这个在郑版课本、 ggg 课件和 yz 的课件中均未提及。但是 2020 年期末考试中出过这样一道题： \(x(2n+1)\) 的双边 z 变换。

我们可以直接推导（经过 ggg 验证）：

\[ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} \\ X(z^{\frac{1}{T}})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-\frac{n}{T}} \\ =\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(mT)z^{-m} \\ =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)z^{-n} \\ \implies \mathscr{Z}[x(nT)]=X(z^{\frac{1}{T}}) \]

6. z 变换与 Laplace 变换的关系 ¶

ZT 和 LT 表达式的对应：可以直接由 LT 表达式写出 ZT 表达式：

\[ \frac{A_i}{s-p_i} \implies \frac{A_i}{1-e^{p_iT}z^{-1}}=\frac{A_iz}{z-e^{p_iT}} \]

用这个可以推导出正弦序列的 z 变换。

（在某些点发生跳变似乎要单独讨论 ...... 但这似乎不重要）

z 平面与 s 平面的映射关系：（T 为序列的时间间隔）

\[ z=e^{sT},\; s=\frac{1}{T}\ln z \\ \omega_s=\frac{2\pi}{T} \\ s=\sigma+\mathrm{j}\omega \\ z=re^{\mathrm{j}\theta} \\ \implies r=e^{\sigma T}=e^{\frac{2\pi\sigma}{\omega_s}} \\ \theta =\omega T=2\pi\frac{\omega}{\omega_s} \]

s 平面的虚轴对应 z 平面单位圆，右半平面映射到单位圆外，左半平面一个射到单位圆内。

s 平面的实轴对应 z 平面正实轴，s 平面平行于实轴的直线对应 z 平面始于原点的射线，且通过 \(\mathrm{j}\frac{k\omega_s}{2}\) 的平行于实轴的直线对应 z 平面的负实轴。

s 平面沿虚轴移动，z 平面上绕单位圆周期旋转。每平移 \(\omega_s\) ，沿单位圆绕一圈，因此一个 z 值对应多个 s 值。

查表：课本 P80，表 8-7 常用信号的 LT 与 ZT。

7. 利用 z 变换解差分方程 ¶

幂级数展开（长除法）、卷积定理（分解为相乘形式，在时域卷积）、留数法（不用）。

8. 离散系统的系统函数 ¶

单位样值响应 \(h(n)\) 与系统函数 \(H(z)\) ¶

LTI 系统，单位样值响应 \(h(n)\) 与系统函数 \(H(z)\) 是一对 z 变换对：

\[ Y(z)=H(z)X(z) \\ y(n)=h(n)*x(n) \\ \implies H(z)=\mathscr{Z}[h(n)]=\sum_{n=0}^{\infty}h(n)z^{-n} \]

可以根据系统函数的零极点分布确定单位样值响应。

展开为部分分式：

\[ h(n) = \mathscr{Z}[H(z)]=\mathscr{Z}^{-1}\left[ \sum_{k=0}^N\frac{A_k z}{z-p_k} \right] \\ = \mathscr{Z}^{-1}\left[ A_0+\sum_{k=1}^N\frac{A_k z}{z-p_k} \right] \\ = A_0\delta(n)+\sum_{k=1}^N A_k(p_k)^n u(n) \]

极点 \(p_k\) 一般以共轭复数形式出现。可见 \(h(n)\) 的特性取决于 \(H(z)\) 的极点，幅度由系数 \(A_k\) 决定，而系数 \(A_k\) 由 \(H(z)\) 的零点分布有关。与 LT 类似， \(H(z)\) 的极点决定 \(h(n)\) 的波形特征，零点只影响 \(h(n)\) 的幅度和相位。

“大圆图”，课本 P86。

从 z 域考察离散时间系统的因果性和稳定性 ¶

系统稳定的充要条件是单位样值响应 \(h(n)\) 绝对可和：

\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|<M \\ H(z)\big|_{z=1}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h(n) \]

因此稳定系统的系统函数 ROC 包含单位圆在内。

系统因果的条件： \(h(n)=h(n)u(n)\) ，z 变换的 ROC 为圆外且包含无穷远点。

综上，因果稳定的系统应该同时满足：

\[ \begin{cases} a<|z|<\infty \\ a<1 \\ \end{cases} \]

这也限制了所有极点都在单位圆内。

9. 序列的傅里叶变换（DTFT）¶

单位圆上的 z 变换。注意与离散傅里叶变换 DFT 完全不同！

定义、收敛条件 ¶

\[ z = e^{\mathrm{j}\omega} \\ \implies \mathrm{DTFT}[x(n)] = X(e^{\mathrm{j}\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-\mathrm{j}\omega n} \\ \mathrm{IDTFT}[X(e^{\mathrm{j}\omega})] = x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{\mathrm{j}\omega})e^{\mathrm{j}\omega n}\,\mathrm{d}\omega \]

又有：

\[ X(e^{\mathrm{j}\omega})=|X(e^{\mathrm{j}\omega})|e^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} =\mathrm{Re}[X(e^{\mathrm{j}\omega})]+\mathrm{j}\mathrm{Im}[X(e^{\mathrm{j}\omega})] \]

称 \(X(e^{\mathrm{j}\omega})\) 为序列 \(x(n)\) 的频谱， \(|X(e^{\mathrm{j}\omega})|\) 为幅度谱， \(\varphi(\omega)\) 为相位谱。

由于 \(\omega\) 沿单位圆旋转， \(X(e^{\mathrm{j}\omega})\) 是以 \(2\pi\) 为周期的周期函数。

时域是离散的，频域是连续的。

DTFT 存在的充分条件：序列 \(x(n)\) 绝对可和。必要条件至今未找到（FT 也如此）

基本性质 ¶

线性。
时域位移。
频域位移。
线性加权，频域微分。
反褶。
奇偶虚实性，参照 FT。
时域卷积，频域卷积。
帕塞瓦尔定理：能量守恒。
共轭： \(x^*(n)\iff X^*(e^{-\mathrm{j}\omega})\) 。因此对于实函数： \(X(e^{\mathrm{j}\omega})=X^*(e^{-\mathrm{j}\omega})\)

10. 离散时间系统的频率响应 ¶

由系统函数 \(H(z)\) 到频率响应 \(H(e^{\mathrm{j}\omega})\) ，回忆连续时间系统的系统函数 \(H(s)\) 到频率响应 \(H(j\omega)\) 。

连续时间系统的特征函数是 \(e^{st}=e^{\mathrm{j}\omega t}\) ，输入信号为 \(e^{\mathrm{j}\omega t}\) 的情况下输出信号为：

\[ x(t)=e^{\mathrm{j}\omega t} \implies y(t)=|H(\mathrm{j}\omega)|e^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi)} \\ x(t)=\sin(\omega t) \implies y(t)=|H(\mathrm{j}\omega)|\sin(\omega t+\varphi) \\ x(t)=\cos(\omega t) \implies y(t)=|H(\mathrm{j}\omega)|\cos(\omega t+\varphi) \]

离散时间系统的频响函数为：

\[ H(e^{\mathrm{j}\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n)e^{-\mathrm{j}\omega n} \]

离散时间系统特征函数为： \(z^{n}=e^{\mathrm{j}\omega n}\) ，对复指数序列 / 正弦序列激励的稳态响应为：

\[ x(n)=e^{\mathrm{j}\omega n} \implies y_{ss}(n)=|H(e^{\mathrm{j}\omega})|e^{\mathrm{j}(\omega n+\varphi)} \\ x(n)=\sin(n\omega) \implies y_{ss}(n)=|H(e^{\mathrm{j}\omega})|\sin(n\omega+\varphi) \]

离散信号中频率 \(\omega\) 和 \(\omega+2k\pi\) 不可区分： \(\sin((\omega+2k\pi)n+\varphi)=\sin(\omega n+\varphi)\) 。

频率响应 \(H(e^{\mathrm{j}\omega})\) 和单位样值响应 \(h(n)\) 是一对 Fourier 变换对。

频率响应 \(H(e^{\mathrm{j}\omega})\) 为周期函数，周期为 \(\omega_s=\frac{2\pi}{T}\) 。

判定频率响应特性，只需关注一个周期 \((0,\omega_s)\) 内的情况。

如果为实系数， \(|H(e^{\mathrm{j}\omega})|\) 为偶函数， \(\varphi(\omega)\) 为奇函数，也只需要关注半个周期 \((0,\omega_s/2)\) 内的情况。0 和 \(\omega_s\) 是最低频， \(\omega_s/2\) 是最高频，以此来判断低通 / 高通 / 带通 / 带阻 / 全通的系统特性。