第 6 章 信号的矢量空间
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1. 基本概念
1- 范数：信号的作用强度（信号作用对时间的累积）
2- 范数：信号的能量
\(\infty\) - 范数：信号的幅度 / 峰值
对于能量无限大的信号，功率定义为：
\[ \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2\,\mathrm{d}t \]
功率的平方根：方均根值（rms）
平均值 / 直流分量：
\[ \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}x(t)\,\mathrm{d}t \]
内积性质的例子：
\[ \left\langle x,y \right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t)\,\mathrm{d}t \\ \left\langle x,y \right\rangle = \left\langle y,x \right\rangle ^* \\ \left\langle x,x \right\rangle = ||x||_2^2 \\ |\left\langle x,y \right\rangle|^2 \leqslant \left\langle x,x \right\rangle \cdot \left\langle y,y \right\rangle \]
2. 正交函数分解
对于两个矢量 \(x,y\) ，用 \(cy\) 逼近 \(x\) ，误差最小的为：
\[ c=\frac{\left\langle x,y \right\rangle}{\left\langle y,y \right\rangle} \]
推广到函数，在区间 \(t_1<t<t_2\) 内用 \(f_2(t)\) 近似表示 \(f_1(t)\) ：\(f_1(t)\approx c_{12}f_2(t)\)
方均误差（误差的方均值）：
\[ \overline{\epsilon^2}=\frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2}[f_1(t)-c_{12}f_2(t)]^2\,\mathrm{d}t \]
方均误差最小（对 \(c_{12}\) 的二阶导为 0），有：
\[ c_{12}=\frac{\left\langle f_1(t),f_2(t) \right\rangle}{\left\langle f_2(t),f_2(t) \right\rangle} =\frac{\int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{t_1}^{t_2} f_2^2(t)\,\mathrm{d}t} \]
正交的等价条件为：
\[ \int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2(t)\,\mathrm{d}t=0 \]
对于复变量函数，上面条件变为：
\[ c_{12}=\frac{\left\langle f_1(t),f_2(t) \right\rangle}{\left\langle f_2(t),f_2(t) \right\rangle} =\frac{\int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2^*(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{t_1}^{t_2} f_2(t)f_2^*(t)\,\mathrm{d}t} \]
3. 完备正交函数集、帕塞瓦尔定理
帕塞瓦尔方程：
\[ \int_{t_1}^{t_2} f^2(t)\,\mathrm{d}t=\sum_{r=1}^{\infty}c_r^2K_r \]
一个信号的功率等于它在完备正交函数集中各分量的功率之和。这体现了正交函数的范数不变性 / 内积不变性。
4. 相关
功率信号与能量信号
对于能量信号，能量有限：
\[ E = \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2\,\mathrm{d}t \\ = \int_{-\infty}^{\infty} f^2(t)\,\mathrm{d}t\quad(\text{real\ variable}) \]
对于功率信号，能量无限，平均功率有限：
\[ P = \lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2}|f(t)|^2 \,\mathrm{d}t \\ = \lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f^2(t) \,\mathrm{d}t\quad(\text{real\ variable}) \]
有些信号既不属于能量信号，也不属于功率信号，比如 \(f(t)=e^t\) 。
对于能量信号，有相关系数（类似于矢量的夹角）：
\[ \rho_{12}=\frac{\left\langle f_1,f_2 \right\rangle}{||f_1||_2 \cdot ||f_2||_2} \]
相关函数
复变量表示的相关函数，其中 \(\tau\) 为两个信号的时差。实函数将共轭去掉即可。
对于能量信号：
\[ R_{12}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2^*(t-\tau)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(t+\tau)f_2^*(t)\,\mathrm{d}t \\ R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^*(t-\tau)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)f^*(t)\,\mathrm{d}t \]
对于功率信号：
\[ R_{12}(\tau) = \lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f_1(t)f_2^*(t-\tau) \,\mathrm{d}t =\lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f_1(t+\tau)f_2^*(t-) \,\mathrm{d}t \\ R(\tau) = \lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f(t)f^*(t-\tau) \,\mathrm{d}t =\lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f(t+\tau)f^*(t) \,\mathrm{d}t \]
性质：共轭反对称 \(R_{12}(\tau)=R_{21}^*(-\tau),\quad R(\tau)=R^*(-\tau)\) 。
特别地，对于实函数有： \(R_{12}(\tau)=R_{21}(-\tau),\quad R(\tau)=R(-\tau)\) ，自相关函数为偶函数。
周期信号的自相关函数也为周期函数，且周期相同。
与卷积的比较
相关与卷积的关系：卷积要“反褶 + 移位 + 积分”，相关仅为“移位 + 积分”，不用反褶。
\[ R_{12}(\tau) = f_1(t)*f_2(t) \\ R(\tau) = f(t)*f(-t) \]
对于实偶函数，卷积和相关结果相同。
相关定理
若有 \(\mathscr{F}[f_1(t)]=F_1(\omega),\mathscr{F}[f_2(t)]=F_2(\omega)\) ，则有：
\[ \mathscr{F}[R_{12}(\tau)] = F_1(\omega)\cdot F_2^*(\omega) \\ \mathscr{F}[R(\tau)] = F(\omega)\cdot F^*(\omega)=|F(\omega)|^2 \]
若 \(f_2(t)\) 为实偶函数，\(F_2(\omega)\) 为实函数，则与卷积定理结果相同。
能量谱和功率谱
能谱：能量信号，自相关函数在 0 处的取值 = 时域 \(f^2(t)\) 覆盖的面积 = 频域 \(|F_1(f)|^2\) 覆盖的面积，时域能量等于频域能量：
\[ R(0)=\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)\,\mathrm{d}t =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2\,\mathrm{d}\omega =\int_{-\infty}^{\infty}|F_1(f)|^2\,\mathrm{d}f \]
定义能量谱密度 / 能谱，反映了单位带宽内的能量：
\[ \mathscr{E}(\omega) = |F(\omega)|^2 \\ \mathscr{E}(\omega) = \mathscr{F}[R(\tau)] \\ E = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{E}(\omega)\,\mathrm{d}\omega =\int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{E}_1(\omega)\,\mathrm{d}\omega \]
自相关函数和能谱函数是一对 Fourier 变换对。
功率谱：
\[ \mathscr{P}(\omega) = \lim_{T\to\infty}\frac{|F_T(\omega)|^2}{T} \\ \mathscr{P}(\omega) = \mathscr{F}[R(\tau)] \\ P = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{P}(\omega)\,\mathrm{d}\omega \]
自相关函数和功率谱函数是一对 Fourier 变换对。（维纳 - 欣钦关系）
注意：能量信号和功率信号的自相关函数单位不同， 因此能量谱和功率谱的单位也不同，相差时间单位。
线性系统的自相关函数与能量谱、功率谱
在频域，我们有：
能量信号： \(\mathscr{E}_r(\omega)=|H(\mathrm{j}\omega)|^2 \cdot \mathscr{E}_e(\omega)\)
功率信号： \(\mathscr{P}_r(\omega)=|H(\mathrm{j}\omega)|^2 \cdot \mathscr{P}_e(\omega)\)
变换到时域，二者共同有： \(R_r(\tau)=R_e(\tau)*R_h(\tau)\)
5. 匹配滤波器
使有用信号 \(s(t)\) 增强，抑制噪声 \(n(t)\) 。信号和噪声同时进入滤波器，如果在某段时间内信号 \(s(t)\) 存在，滤波器的输出在相应的瞬间出现强大的峰值。
有用信号 \(s(t)\) 持续时间有限，为 \(0 \sim T\) ，则匹配滤波器的冲激响应为 \(h(t)=ks(t_m-t)\)
考虑到系统因果可实现（\(t_m\geqslant T\)）+ 观察时间 \(t_m\) 尽可能小（\(t_m=T\)） + 取系数 \(k\) 为 1，得到：\(h(t)=s(T-t)\) 。
输出为 \(s_o(t)=s(t)*h(t)=s(t)*s(T-t)=R_{ss}(t_T)\) 。
匹配滤波器相当于对 \(s(t)\) 进行自相关运算，在 \(t=T\) 的时刻取得自相关函数的峰值，峰值大小等于信号 \(s(t)\) 的能量 E，且仅与能量有关，与波形无关。
自相关函数的峰值在原点取到： \(R_{ss}(0)\geq R_{ss}(\tau)\) ，并且等于信号的能量，有时差之后取值会减少。