第四章频域图像增强 ¶

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4.1 傅里叶变换 ¶

2-D 变换核

对于 \(M\times N\) 二维图像：

\[ F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\exp\left[-j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})\right] \]

对于 \(N\times N\) 二维图像：

\[ F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\exp\left(-j2\pi \frac{ux+vy}{N}\right) \]

1 个 2-D 变换核可分解成 2 个 1-D 变换核，对应 x 和 y 两个方向。

平移定理： \(f(x-a,y-b)\iff F(u,v)\exp(-j2\pi \dfrac{au+bv}{N})\) 。

旋转定理：\(f(x,y)\) 旋转角度 \(\theta_0\) ，\(F(u,v)\) 也转过相同角度。\(F(u,v)\) 旋转角度 \(\theta_0\) ，\(f(x,y)\) 也转过相同角度。

尺度定理：\(f(ax,by)\iff \dfrac{1}{|ab|}F(\dfrac{u}{a},\dfrac{v}{b})\) 。

卷积定理：\(f(x,y)*g(x,y)\iff F(u,v)G(u,v),f(x,y)g(x,y)\iff F(u,v)*G(u,v)\) 。